હાઇડ્રોજન પરમાણુની બોહર કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અને કુલ ઊર્જાનો ગુણોત્તર કેટલો છે?

હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે પ્રથમ માન્ય બોહર કક્ષાની ત્રિજ્યા $0.53 \mathring{A}$ છે અને તેની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા $-13.6 \; eV$ છે. જો હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનને મ્યુઓન $(\mu^{-})$ [જેનો વીજભાર ઇલેક્ટ્રોન જેટલો અને દળ $207 m_{e}$ છે] દ્વારા બદલવામાં આવે, તો પ્રથમ બોહર ત્રિજ્યા અને ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા કેટલી હશે?

હાઇડ્રોજન પરમાણુને સમતુલ્ય આયનની બામર શ્રેણીની ત્રીજી રેખાની તરંગલંબાઇ $108.5 \ nm$ છે. આ આયનના ઇલેક્ટ્રોનની ધરા-સ્થિતિની ઉર્જા .....$eV$ હશે.

એક મુક્ત હાઇડ્રોજન પરમાણુ $\lambda_{a}$ તરંગલંબાઇ ધરાવતા ફોટોનનું શોષણ કરીને $n=1$ અવસ્થામાંથી $n=4$ અવસ્થામાં ઉત્તેજિત થાય છે. ત્યારબાદ તરત જ ઇલેક્ટ્રોન $\lambda_{e}$ તરંગલંબાઇ ધરાવતા ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરીને $n=m$ અવસ્થામાં કૂદકો મારે છે. ધારો કે શોષણ અને ઉત્સર્જનને કારણે પરમાણુના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર અનુક્રમે $\Delta p_{a}$ અને $\Delta p_{e}$ છે. જો $\lambda_{a} / \lambda_{e} = 1/5$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?
[ઉપયોગ કરો $hc = 1242 \text{ eV nm}$; $1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}$]
$(1)$ $\lambda_{e} = 418 \text{ nm}$
$(2)$ $n=m$ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અને $n=1$ અવસ્થાની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $1/4$ છે
$(3)$ $m=2$
$(4)$ $\Delta p_{a} / \Delta p_{e} = 1/2$

આંતરતારકીય અવકાશમાં હાઇડ્રોજન દ્વારા ઉત્સર્જિત $21\, cm$ રેડિયો તરંગ એ પરમાણ્વીય હાઇડ્રોજનમાં હાઇપરફાઇન આંતરક્રિયાને કારણે છે. ઉત્સર્જિત તરંગની ઉર્જા આશરે કેટલી છે?

શાસ્ત્રીય રીતે,ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુના ન્યુક્લિયસની આસપાસ કોઈપણ કક્ષામાં હોઈ શકે છે. તો પરમાણુનું લાક્ષણિક કદ શું નક્કી કરે છે? પરમાણુ તેના લાક્ષણિક કદ કરતા હજાર ગણો મોટો કેમ નથી? આ પ્રશ્ને બોહરને તેમના પ્રખ્યાત પરમાણુ મોડેલ પર પહોંચતા પહેલા ખૂબ જ મૂંઝવણમાં મૂક્યા હતા જે તમે પાઠ્યપુસ્તકમાં શીખ્યા છો. તેમની શોધ પહેલાં તેમણે શું કર્યું હશે તેનું અનુકરણ કરવા માટે,ચાલો પ્રકૃતિના મૂળભૂત અચળાંકો સાથે નીચે મુજબ રમીએ અને જોઈએ કે શું આપણને લંબાઈના પરિમાણવાળી એવી રાશિ મળે છે જે પરમાણુના જાણીતા કદ $\left(\sim 10^{-10} \;m \right)$ ની લગભગ સમાન હોય.
$(a)$ મૂળભૂત અચળાંકો $e, m_{e},$ અને $c$ નો ઉપયોગ કરીને લંબાઈના પરિમાણવાળી એક રાશિ બનાવો. તેનું આંકડાકીય મૂલ્ય નક્કી કરો.
$(b)$ તમે જોશો કે $(a)$ માં મેળવેલ લંબાઈ પરમાણુના પરિમાણો કરતા ઘણી ઓછી છે. વધુમાં,તેમાં $c$ નો સમાવેશ થાય છે. પરંતુ પરમાણુઓની ઉર્જા મોટે ભાગે બિન-સાપેક્ષવાદી ક્ષેત્રમાં હોય છે જ્યાં $c$ કોઈ ભૂમિકા ભજવે તેવી અપેક્ષા નથી. આનાથી બોહરને $c$ ને છોડી દેવાનું અને યોગ્ય પરમાણુ કદ મેળવવા માટે 'બીજું કંઈક' શોધવાનું સૂચન મળ્યું હશે. હવે,પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ અન્યત્ર દેખાઈ ચૂક્યો હતો. બોહરની મહાન સમજ એ ઓળખવામાં હતી કે $h, m_{e},$ અને $e$ યોગ્ય પરમાણુ કદ આપશે. $h, m_{e},$ અને $e$ માંથી લંબાઈના પરિમાણવાળી એક રાશિ બનાવો અને ખાતરી કરો કે તેનું આંકડાકીય મૂલ્ય ખરેખર યોગ્ય ક્રમનું છે.